Winkel zwischen Gerade und Ebene

Um den Winkel $\alpha$ zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen, benötigen Sie für die Ebene die Normalenform. Sie bestimmen dann den Winkel $\beta$ zwischen der Geraden und dem Normalenvektor. Es gilt: $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$: $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} $$ $$ E: \left [ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{x} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 $$

$$ \cos(\beta) = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} } { |\vec{a}|\,|\vec{b}| } $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 + 48 + 12 = 62 $$

$$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7 $$ $$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{81} = 9 $$

Einsetzen in die Formel für den Winkel: $$ \cos(\beta) = \frac{ 62 } {7 \cdot 9 } = 0.98 $$ $$ \beta = \arccos (0.98) = 10^\circ $$

$$ \alpha = 90^\circ - 10^\circ = 80^\circ $$ Der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene beträgt 80°