Eine Geradengleichung aufstellen

$$ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \;\;\; B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} $$ A und B sind Punkte der Geraden. B-A ist die Richtung der Geraden von A aus.

Eine Gerade durch zwei Punkte A und B kann folgendermaßen dargestellt werden: $$ g: \overrightarrow{x} = A + r (B-A) $$ $\overrightarrow{c} = B-A$ ist gerade der Vektor vom Punkt A zu Punkt B. $\overrightarrow{c}$ ist der Richtungsvektor. Seine Länge ist nicht entscheidend, sondern nur seine Richtung, denn er wird ja sowieso mit einer Zahl multipliziert. $$ B-A = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $$ $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $$

Hinweis: Richtungsvektor

Ihnen sind als Punkte A und C gegeben: $$ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \;\;\; C = \begin{pmatrix} 2 \\ 3{,}5 \\ 5 \end{pmatrix} $$ $$ C-A = \begin{pmatrix} 1\\1{,}5\\2 \end{pmatrix} $$ Es empfiehlt sich, als Richtungsvektor einen Vektor zu wählen, der keine Brüche oder Dezimalzahlen enthält (und möglichst keine Vielfache). Da es bei dem Richtungsvektor nur auf die Richtung ankommt, können Sie als Richtungsvektor auch jedes Vielfache des Richtungsvektors nehmen: Das Doppelte, Dreifach, Halbe etc. wählen. Hier ist als Vielfache das Doppelte genommen: $$ k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\1{,}5\\2 \end{pmatrix} $$ $$ l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $$ k und l sind dieselben Geraden!

Hinweis: Parameter

$$ k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\1{,}5\\2 \end{pmatrix} $$ $$ l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $$ Wenn Sie die Strecke zwischen den Punkten A und C angeben wollen unterscheiden sich die Intervalle der Parameter: $$ k: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1\\1{,}5\\2 \end{pmatrix} \;\;\; 0 \leq r \leq 1 $$ $$ l: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} \;\;\; 0 \leq s \leq \frac{1}{2} $$