Kurven im Raum

Eine "Kurve" im Raum kennen Sie schon: die Gerade. Sie haben einen Parameter und die Kurve steigt immer um denselben Vektor. Z. Bsp.: $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5r + 1 \\ 4r + 2 \\ 6r + 3 \end{pmatrix} $$ Sie haben jeweils eine lineare Funktion in den einzelnen Komponenten.

Jedoch könnte man sich auch vorstellen, dass nicht nur ein linearer Zusammenhang betrachtet wird, sondern beliebige Funktionen benutzt werden. Z. Bsp.: Eine Schraube: $$ x(t) = r \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ t \end{pmatrix} $$ In der x-y Ebene haben Sie einen Kreis. Jedoch bleiben Sie nicht in der x-y-Ebene sondern "schrauben" sich langsam nach oben, da die Werte in z-Richtung immer größer werden.

Den Anstieg können Sie bei den Kurven berechnen, indem Sie die jeweiligen Komponenten einzeln differenzieren: $$ x(t) = \begin{pmatrix} 5t + 1 \\ 4t + 2 \\ 6t + 3 \end{pmatrix} \;\;\; x'(t) = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$