Nachweis eines Quadrates

Gegeben sind vier Punkte im Raum. Weisen Sie nach, dass diese ein Quadrat bilden:
A$(1|1|1)$, B$(5|9|9)$, C$(-3|17|5)$, D$(-7|9|-3)$.

Die Punkte A, B, C, D im Raum.
Die Punkte A, B, C, D im Raum. Im ersten Bild ist die Figur verzerrt. Im zweiten Bild schauen Sie aus einer anderen Blickrichtung auf das Viereck. Maxima Code

"Ein Viereck ist ein Quadrat, wenn alle Seiten gleichlang sind und einer der Winkel ein 90°-Winkel ist."

Dieser Ansatz reicht leider im 3-dimensionalen nicht aus wie folgende Animation zeigt. D. h. die 4 Punkte müssen auch in einer Ebene liegen.

Eine Animation, bei der bei einem Quadrat eine Seite hochgeklappt wird.
Bei einem Quadrat im Raum wird eine Seite hochgeklappt. Die Vierecke haben gleichlangen Seiten und einen 90°-Winkel. Jedoch sind die Vierecke kein Quadrat mehr. Maxima Code

Nachweis

Ansatz

Ein Viereck ist ein Quadrat, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Seiten bestimmen

$$ \begin{array}{rccccl} \vec{a} &=& B - A &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} \\[1ex] \vec{b} &=& C - B &=& \begin{pmatrix} -3 \\ 17 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \\[1ex] \vec{c} &=& D - C &=& \begin{pmatrix} -7 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 17 \\ 5 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ -8 \end{pmatrix} \\[1ex] \vec{d} &=& A - D &=& \begin{pmatrix} -3 \\ 17 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 9 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \\[1ex] \end{array} $$

Seiten vergleichen

Die Seiten sind parallel und gleich lang. Da die Seiten parallel sind, müssen wir jetzt nur einen 90°-Winkel nachweisen.

90°-Winkel nachweisen

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} = 4 \cdot (-8) + 8 \cdot 8 + 8 \cdot (-4) = -32 + 64 - 32 = 0 $$ $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schließen einen 90°-Winkel ein.