Arbeit

Arbeit ist in der Physik das Produkt aus der zurückgelegten Wegstrecke und der aufgewendeten Kraft in Wegrichtung.

Beispiel 1

Ein Tafel Schokolade wiegt 100 g und man benötigt auf der Erde ca. 1 N um die Schokolade zu halten. Wenn man diese Schokolade einen Meter hochhebt so wird folgende Arbeit geleistet:
W = Fs = 1 N ⋅ 1 m = 1 Nm
Die Kraft geht nach oben und der Weg ist auch nach oben, also ist die Kraft in Wegrichtung.

Beispiel 2

Wenn Sie die Tafel Schokolade aus Beispiel 1 nicht hochheben sondern immer in gleicher Höhe tragen, dann leisten Sie keine Arbeit im phsyikalischen Sinn. Denn Sie stecken keine Energie in das System. Wenn Sie die Tafel loslassen, wird bei gleicher Höhe immer dieselbe Energie frei. Das Problem ist hier, dass Sie die Kraft nicht in Wegrichtung leisten.

Herleitung

Kraft und Weg und die Projektion.
Eine Kraft und eine Wegrichtung. OL ist die Projektion des Kraftvektors $\vec{F}$ auf den Vektor $\vec{s}$. Maxima Code

Die Kraft hat eine Stärke (Länge des Vektors) und eine Richtung. Die Länge des Weges entpsricht der Länge des Vektors und der Weg hat eine Richtung, der der Richtung des Weges entspricht.

Die Länge OL ist: $$ \overline{OL} = |\vec{f}| \, \cos(\gamma)$$ $\gamma$ sei der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{F}$ und $\vec{s}$.

Die geleistete Arbeit ist dann das Produkt aus der Kraft in Wegrichtung $\overline{OL}$ und der Länge des Weges:
$$ W = \overline{OL} \,\, |\vec{s}| = |\vec{F}| \, \cos(\gamma) \, |s| $$ Dies entspricht dem Skalarprodukt: $$ W = \vec{F} \cdot \vec{s} $$