Das Skalarprodukt -- andere Definitionen

umgekehrte Definition

Man kann das Skalarprodukt umgekehrt zu unserer bisherigen Vorgehensweise auch dadurch definieren, dass man festlegt: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \end{pmatrix} = a_1\,b_1 + a_2\,b_2 \ldots $$

Nun muss man natürlich umgekehrt den Winkel festlegen: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos(\gamma) $$ bzw.: $$ \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \cos(\gamma) $$ Im Anschauungsraum kann man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras oder der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zeigen, dass durch die umgekehrte Definition auch wirklich der Winkel aus dem Anschauungsraum sich ergibt.

Erweiterte Definition

Man kann das Skalarprodukt etwas allgemeiner definieren, indem die einzelnen Produkte mit einer Zahl $w$ multipliliert werden: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \end{pmatrix} = w \cdot a_1\,b_1 + w \cdot a_2\,b_2 \ldots $$

Allgemeine Definition

Noch allgemeiner ist das Skalarprodukt dadurch definiert, dass man die konkrete Berechnung jedem selbst überlässt, jedoch bestimmte Eigenschaften fordert:

• Das Distributivgesetz gilt von rechts: $$(\vec{a} + \vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} $$
• Das Distributivgesetz gilt von links: $$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} $$
• Die Multiplikation mit einer reellen Zahl $w$ mit dem ersten Vektor: $$ (w \vec{a}) \cdot \vec{b} = w (\vec{a} \cdot \vec{b})$$
• Die Multiplikation mit einer reellen Zahl $w$ mit dem zweiten Vektor: $$ \vec{a} \cdot (w \vec{b}) = w (\vec{a} \cdot \vec{b})$$
• Das Skalarprodukt ist symmetrisch: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $$
• Die Multiplikation mit sich selbst ist immer positiv: $$ \vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0 $$
• Die Multiplikation mit sich selbst ist genau dann null, wenn es sich um den Nullvektor handelt: $$ \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = 0$$

Warum gibt es diese Definition so in dieser Form?
Man kann so einmal die Länge festlegen: $$ |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} $$ Und man kann sehr verschiedene Objekte als Vektoren betrachten. D.h. man ist nicht mehr auf dem Anschauungsraum und einfachen Pfeilen beschränkt. sondern kann z.B. auch in Räumen rechnen, bei denen die Länge ganz anders als berechnet wird als im Anschauungsraum. Darüberhinaus kann man die Idee der Vektorrechnung erweitern und sogar Funktionen als Vektoren betrachten.