Das Vektorprodukt Berechnung

Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$: $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} $$

Wie merkt man sich das Vektorprodukt?

Dazu rechnen wir ein Beispiel durch.

Als erstes schreiben Sie beide Vektoren untereinander und dann multiplizieren Sie kreuzweise. Dabei zählt das Produkt von links oben nach unten rechts positiv und von unten links nach oben rechts positiv.

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \, \, \, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $$ Schreiben Sie nun die beiden Vektoren untereinander: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $$ Die erste Komponente ergibt sich aus einer kreuzweisen Multiplikation der Zahlen unterhalb der 1. Komponente: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ {\color{red} 2} \\ {\color{green} 3} \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ {\color{green} 5} \\ {\color{red} 6} \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \\ \\ \\ \\ \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ \\ \\ \\ \\ \end{pmatrix} $$ Die zweite Komponente ergibt sich aus einer kreuzweisen Multiplikation der Zahlen unterhalb der 2. Komponente: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ {\color{red} 3} \\ {\color{green} 1} \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ {\color{green} 6} \\ {\color{red} 4} \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 \\ \\ \\ \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ \\ \\ \\ \end{pmatrix} $$ Die dritte Komponente ergibt sich aus einer kreuzweisen Multiplikation der Zahlen unterhalb der 3. Komponente: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ {\color{red} 1} \\ {\color{green} 2} \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ {\color{green} 4} \\ {\color{red} 5} \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \\ \\ \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \\ \\ \\ \end{pmatrix} $$

Probe

Anschliessend machen Sie in jedem Fall eine Probe, um sicherzustellen, dass Sie sich nicht verrechnet haben.

Da die Vektoren senkrecht zum Vektorprodukt sind, muss das Skalarprodukt jeweils null ergeben: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = -3 + 12 - 9 = 0 $$ und $$ \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = 4 \cdot (-3) + 5 \cdot 6 + 6 \cdot (-3) = -12 + 30 - 18 = 0 $$