Einführung: Punkt-Gerade

Der klassische Weg der Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Geraden ist der rein geometrische Weg mit Hilfe einer Hilfsebene. Dies führt auf dieselbe Rechnung wie der Weg mit Hilfe des Skalarproduktes.

Ebenfalls aus rein geometrischen Überlegungen kann man das Vektorprodukt benutzen um Dreiecksflächen zu bestimmen. Man kann dann anschliessend verschiedene Dreiecke mit derselben Fläche vergleichen, bei denen ein Dreieck als Höhe gerade die Entfernung des Punktes zur Geraden hat.
Bei dieser Methode benötigen Sie den Lotpunkt nicht. Aber bei dieser Methode haben Sie auch keine Möglichkeit den Lotpunkt zu bestimmen.
Dafür erhalten Sie hier eine einfache Formel zur Berechnung des Abstandes.

Der Weg mit Hilfe des Skalarproduktes eine Gleichung zu erstellen mit der der Lotpunkt berechnet werden kann, um dann den Abstand zwischen dem Lotpunkt und dem Punkt zu bestimmen verbindet Gleichungen und Geometrie.

Man kann die Entfernung jedes beliebigen Punktes der Geraden zu dem gegebenen Punkt bestimmen und diesen Ausdruck als eine Funktion auffassen. Von dieser Funktion kann man dann anschliessend das Minimum suchen. Dies ist dann die kürzeste Entfernung des Punktes zur Geraden. Dieser Weg verbindet die Analysis und die Geometrie.
Bei dieser Methode benötigen Sie den Lotpunkt nicht. Sie können den Lotpunkt jedoch bestimmen, wenn Sie möchten.