Die Diagonalen einer Raute.

Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Insbesondere ist auch ein Quadrat eine (spezielle) Raute. In diesem Abschnitt beweisen wir folgenden Satz:

In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

Eine Raute mit ihren Diagonalen.
Eine Raute. Die Seiten sind gleich lang und parallel. Maxima Code
Da wir die Orthogonalität beweisen wollen (der Winkel der Diagonalen soll 90° sein), benötigen wir das Skalarprodukt: Wir müssen für die Diagonalen ($d_1$ und $d_2$) folgendes zeigen: $$ \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2} = 0 $$ Dazu ersetzen wir zuerst die Diagonalen: $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$ $$ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} $$ Dann bilden wir das Skalarprodukt: $$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \cdot (\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} $$ Zwei Summanden sind gleich: $$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} $$ Jeder der Summanden gibt das Quadrat seiner Länge an. Da die Länge der Seiten aber gleich sind bei einer Raute, gilt: $$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 $$ Also sind die Diagonalen in einer Raute orthogonal.