Umformen der Ebenendarstellungen

Parameterform -> Normalenform

$$ E: \vec{x} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Gesucht ist die Normale der Ebene. Die Normale ist senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren. $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Ein Punkt der Ebene ist direkt aus der Parameterform ablesbar: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$ $$ E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$

Normalenform -> Koordinatenform

$$ E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$ Der Normalenvektor gibt die Vorfaktoren von $x_1$, $x_2$ und $x_3$: $$ -2x_1 + 1 x_2 + 1x_3 = e $$ Um $e$ zu bestimmen setzt man einen beliebigen Punkt der Ebene ein: $$ e = -2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3 $$ Damit ergibt sich die Koordinatenform zu: $$ -2 x_1 + x_2 + x_3 = 3 $$

Koordinatenform -> Parameterform

Es gibt zwei Möglichkeiten:
  1. Sie suchen drei verschiedene Punkte und erstellen die Parameterform aus diesen Punkten.
  2. Sie finden einen Punkt. Wenn Sie die Richtungsvektoren in die Koordinatengleichung einsezten erhalten Sie als Lösung null. Entsprechend müssen Sie dann zwei linear unabhängige Richtungsvektoren auswählen.
  3. Sie benutzen das Gaussverfahren und erstellen die Parameterform direkt.

Verfahren 1: Drei Punkte

In der Regel reicht folgendes Verfahren: Setzen Sie jeweils zwei Komponenten gleich null und ermitteln Sie dann die Koordinatenachsenschnittpunkte: $$ x_2 = x_3 = 0 \Rightarrow -2 x_1 = 3 \Rightarrow P_1 = (-1{,}5|0|0) $$ $$ x_1 = x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3 \Rightarrow P_2 = (0|3|0) $$ $$ x_1 = x_2 = 0 \Rightarrow x_3 = 3 \Rightarrow P_3 = (0|0|3) $$ Aus den drei Punkten bestimmen Sie Richtungsvektoren: $$ \vec{u_1} = \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1{,}5\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5\\3\\0 \end{pmatrix} $$ Sie multiplizieren den Vektor mit $\frac{1}{1{,}5}$, um ganzzahlige Werte zu erhalten: $$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} $$ Sie multiplizieren den Vektor mit $\frac{1}{1{,}5}$, um ganzzahlige Werte zu erhalten: $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Dann lautet eine Parameterform: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Alternativ und vernünftigerweise können Sie die Richtungsvektoren auch so bestimmen: $$ \begin{array} u_1 &=& \begin{pmatrix} 0 \\ n_3 \\ -n_2 \\end{pmatrix} \\ u_2 &=& \begin{pmatrix} n_3 \\ 0 \\ -n_1 \\end{pmatrix} \\ u_3 &=& \begin{pmatrix} n_2 \\ -n_3 \\ 0 \\end{pmatrix} \end{array} $$ Maximal einer der Richtungsvektoren ist der Nullvektor. Dies passiert z. B. bei $n = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Wenn der Normalenvektor normal zur xy-Ebene (bzw. zur yz- oder yz-Ebene) ist.

Verfahren 2: Frei Wählen $$ E: -2x_1 + x_2 + x_3 = 3 $$

Ein Punkt muss die Koordinatengleichung erfüllen. Wählen Sie geschickt. Z. B.: $$P = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Die Richtungsvektoren müssen folgende Gleichung erfüllen und müssen linear unabhängig sein. D. h. bei zwei Vektoren, dass Sie kein Vielfaches von einander sein dürfen. $$ E: -2x_1 + x_2 + x_3 = 0 $$ $$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Damit erhalten Sie als Parameterform: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Verfahren 3: Gaussverfahren

Sie formen die Gleichung um: $$ \begin{array}{rcl} -2x_1 + x_2 + x_3 &=& 3 \\ -2x_1 &=& 3 - x_2 - x_3 \\ x_1 &=& -1{,}5 + 0{,}5 x_2 + 0{,}5x_3 \end{array} $$ $x_2$ und $x_3$ sind frei wählbar. Damit bestimmen Sie die Komponente $x_1$. Darum ersetzen Sie in der Gleichung $x_2$ durch $r'$ und $x_3$ durch $s'$ und führen so Parameter ein: $$ \begin{array}{rccc} x_1 &=& -1{,}5 & + 0{,}5 r' & + 0{,}5 s' \\ x_2 &=& 0 & 1 r' & \\ x_3 &=& 0 & 0 & 1 s' \\ \end{array} $$ Im Vektorschreibweise: $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r' \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s' \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Jetzt haben Sie eine Parameterform. Um bei den Richtungsvektoren ganzzahlige Werte zu erhalten, ersetzen Sie die Richtungsvektoren durch Vielfache (Multiplikation jeweils mit zwei): $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r' \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s' \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$