Gerade - Ebene - Schnittpunkt

Gegeben ist folgende Ebene: $$ E: 3x_1 + 1x_2 - 5x_3 = -3 $$ bzw. in Parameterdarstellung: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Wir untersuchen, die Lage der Geraden $g$ zur Ebene. $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Wir untersuchen nicht erst auf Parallelität. Das sollten Sie aber i. d. Regel zuerst machen, weil es mit dem Normalenvektor schnell geht.

Verfahren mit der Koordinatenform

Am einfachsten untersuchen Sie die Lage der Gerade zur Ebene mit Hilfe der Koordinatenform der Ebene. Sie setzen die Geradengleichung in die Koordinatenform ein und lösen die entstehende Gleichung.

Die Gerade: $$ \begin{array}{rcl} x_1 &=& 4 + 2k \\ x_2 &=& -5 + 1k \\ x_3 &=& -1 + 2k \\ \end{array} $$ Eingesetzt in die Koordinatenform: $$ \begin{array}{rcl} 3 \cdot (4+2k) + 1 \cdot (-5+k) + (-5) (-1+2k) &=& -3 \\ 12 + 6k -5 + k + 5 - 10k &=& -3 \\ 12 - 3k &=& -3 \\ -3k &=& -15 \\ k &=& 5 \end{array} $$ Es gibt einen Schnittpunkt zwischen der Gerade und der Ebene und der Schnittpunkt berechnet sich: $$ S = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} $$

Verfahren mit der Parameterform

Hier lösen wir ein Gleichungssystem (mit dem Gaussverfahren).

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ Umformen (Punkte auf die rechte Seite und Parameter links) $$ r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} $$ Dieses Gleichungssystem kann man mit dem Gaussverfahren lösen und erhält: $r = 2$, $s = 3$ und $k = 5$. Lösung als pdf. (TeX)

Einsetzen von $k = 5$ in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt. $$ S = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} $$