Determinante und Lösungen eines Gleichungssystems

Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Spalten (und dann auch die Zeilen) linear unabhängig sind. Der bisherige Test war, dass wir das Volumen berechnet der drei Vektoren (Spalten) ausgerechnet haben: $$V = \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}$$ Wenn das Volumen null ist, dann liegen diese drei Vektoren in einer Ebene und sind linear abhängig voneinander.

$$ \begin{array}{rcl} V &=& \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} \\ &=& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \\ &=& a_2 \, b_3 \,c_1 - a_3 \, b_2 \, c_1 \\ && + a_3 \, b_1 \,c_2 - a_1 \, b_3 \, c_2 \\ && + a_1 \, b_2 \,c_3 - a_2 \, b_1 \, c_3 \end{array} $$

Da dieser Term wichtig ist, bekommt er einen eigenen Namen. $$ M = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix} $$ Die Determinante einer Matrix berechnet sich dann nach der Regel von Sarrus: Schreiben Sie die Matrix neben der Matrix:

Ziehen Sie schräge Linien von oben links nach unten rechts (+) und schräge Linien von oben rechts nach unten links (-).

Determinante eines 2x2-Gleichungssystems

Bei einer 2x2-Matrix berechnen Sie die Determinante folgendermaßen: $$ M = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} $$ $$ A = \det(M) = m_{11} \cdot m_{22} - m_{12} \cdot m_{21} $$ Wenn die Zeilen oder Spalten Vielfache voneinander sind, dann ist die Determinante gleich 0. Die Determinante bei einer 2x2-Matrix entspricht der Fläche, die die beiden Vektoren $\begin{pmatrix} m_{11} \\ m_{21} \end{pmatrix} $ und $\begin{pmatrix} m_{12} \\ m_{22} \end{pmatrix} $ aufspannen.