Übungen

Übung 1

Geben Sie das Vektorprodukt an:

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $$


$\vec{n}$ =		=

Übung 2

Geben Sie einen dritten linear unabhängigen Vektor an:

$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,\,\, \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$


$\vec{n}$ =

Übung 3

Gegeben sind im dreidimensionalen Raum zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und der folgende Term: $$ (\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a} $$

Kreuzen Sie an, welche Aussagen richtig sind. (Mehrfachantworten sind möglich.)

$(\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a}$ ist eine Zahl. Ein Vektorprodukt ergibt als Lösung einen Vektor. Die Klammer ist das Vektorprodukt zweier Vektoren. Also ein Vektor. Das anschließende Vektorprodukt ergibt dann wiederum als Vektorprodukt zweier Vektoren einen Vektor. Die Aussage ist falsch.
$(\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a}$ ist in der Ebene, in der auch die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ liegen. $(\vec{a} \times \vec{b} )$ ist senkrecht zu den beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. $(\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a}$ ist senkrecht zu den beiden Vektoren: $\vec{a}$ und $(\vec{a} \times \vec{b} )$. Damit liegt der Vektor wieder in der Ebene der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Die Aussage ist richtig.
$(\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ Ausrechnen ergibt, dass beide Terme folgenden Vektor ergeben: $$ (\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{a} = \begin{pmatrix} -a_1 a_3 b_3 - a_1 a_2 b_2 + a_3^2 b_1 + a_2^2b1 \\ -a_2 a_3 b_3 + a_3^2 b_2 + a_1^2 b_2 - a_1 a_2 b_1 \\ a_2^2 b_3 + a_1^2 b_3-a_2 a_3 b_2-a_1 a_3 b_1 \end{pmatrix} $$ Die Länge des Vektors, der in der Klammer jeweils ausgerechnet wird, entspricht der Fläche des Parallelogramms. Dieser Vektor ist in beiden Termen bis auf das Vorzeichen identisch. Da eine zweimalige Vertauschung der Reihenfolge des Vektorproduktes mit dem Vektor $\vec{a}$ stattfindet, ist die Orientierung des Endproduktes jeweils identisch. Die Aussage ist richtig.