Koordinatensystem
Die Punktprobe bei Geraden
Hier wird die Fragestellung behandelt, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Mit Hilfe der Geradengleichung lassen sich schnell Punkte der Geraden angeben.
Beispiel
$$ g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ A = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} \hspace{2cm} B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} $$
Wenn A ein Punkt der Geraden g ist, dann muss es auch ein r
geben, so dass die Geradengleichung diesen Punkt A erzeugt.
$$
\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}
+ r
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
$\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}$ wird auf beiden
Seiten abgezogen:
$$
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}
=
r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
Dies sind nun 3 Gleichungen:
Die Gerade g erzeugt mit r=2 den Punkt A.
- Für die erste Gleichung gilt: r = 2.
- Für die zweite Gleichung gilt: r = 2.
- Für die dritte Gleichung gilt: r = 2.
Die Gerade g erzeugt mit r=2 den Punkt A.
Wenn B ein Punkt der Geraden g ist, dann muss es auch ein r
geben, so dass die Geradengleichung diesen Punkt B erzeugt.
$$
\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}
+ r
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
$\begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}$ wird auf beiden
Seiten abgezogen
$$
\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}
=
r \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
Dies sind nun 3 Gleichungen:
- Für die erste Gleichung gilt: r = 1.
- Für die zweite Gleichung gilt: r = 0.
- Für die dritte Gleichung gilt: r = 2.