Abstand zwischen zwei Ebenen

Wenn zwei Ebenen parallel sind, dann hat jeder Punkt der ersten Ebene den gleichen Abstand zur zweiten Ebene. Unser Problem ist also schon gelöst. Wir müssen nur den Abstand eines beliebigen Punktes der Ebene $E_1$ zur Ebene $E_2$ berechnen. Ob die Ebenen parallel sind, erkennen Sie daran,

• dass die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.
• dass die Richtungsvektoren der einen Ebene jeweils linear abhängig sind zu den beiden Richtungsvektoren der zweiten Ebene. ( $\overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0$ und $\overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{v_1} \cdot \overrightarrow{v_2} = 0$ )
• dass die Richtungsvektoren der einen Ebene jeweils orthogonal zum Normalenvektor der zweiten Ebene sind.

Beispiel

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Ebenen: $$ E_1: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$ $$ E_2: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Zuerst zeigen wir, dass die Ebenen parallel sind: $$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \;\;\; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 $$ Die Richtungsvektoren der Ebene $E_1$ sind jeweils orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $E_2$.

Die Ebene $E_2$ ist in der HNF-Darstellung gegeben. Deswegen setzen wir irgendeinen Punkt der Ebene $E_1$ in die HNF-Darstellung der Ebene $E_2$ ein. $$ \begin{array}{rcl} d &=& \left[ \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \frac{5 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + (-5) \cdot 2 } {3} \\ &=& \frac{5 + 14 - 10 } {3} \\ &=& \frac{9}{3} \\ &=& 3 \end{array} $$