Das Vektorprodukt -- Das Kreuzprodukt -- Übersicht

In 3 Dimensionen erstellt das Vektorprodukt - geometrisch gesehen - aus zwei Vektoren einen neuen 3-dim. Vektor, der senkrecht ist zu den beiden anderen Vektoren.

Das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$: $$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} $$

Wozu dient das Vektorprodukt?

• Sie können einen senkrechten Vektor auf eine Ebene bestimmen.
  Durch diesen senkrechten Vektor kann die Lage einer Ebene bestimmt werden.
• Die Länge des senkrechten Vektors entspricht der Fläche des von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelogramms. $$ A = |\vec{a} \times \vec{b}| $$

• In Kombination mit dem Skalarprodukt können Sie das Volumen eines Parallelepipeds berechnen. $$ V = \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} $$

  Das Volumen einer Pyramide ist $\frac{1}{6}$ so groß wie das Volumen des Parallelepipeds. $$ V = \frac{1}{6} \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} $$

• Das Vektorprodukt mit einem Vektor selbst ist der Nullvektor. Die aufgespannte Fläche ist null und damit muss auch die Länge des Vektors null sein. Dies leistet nur der Nullvektor. $$ \vec{a} \times \vec{a} = 0 $$