Punkt - Ebene: Punktprobe

Gegeben ist folgende Ebene: $$ E: 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 12 $$ bzw. in Parameterdarstellung: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} $$ Wir untersuchen, ob der Punkt P(1|2|-4) in der Ebene liegt.

Verfahren mit der Koordinatenform

Am einfachsten untersuchen Sie die Lage des Punktes zur Ebene mit Hilfe der Koordinatenform. Sie setzen den Punkt ein und schauen, ob sich 12 ergibt: $$ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - (-4) = 2 + 6 + 4 = 12 $$ Der Punkt erfüllt die Koordinatengleichung. Also ist der Punkt ein Punkt der Ebene.

Verfahren mit der Parameterform

Nun müssen wir ein Gleichungssystem (mit dem Gaussverfahren) lösen. Jedoch wollen wir nicht die Lösung für r und s haben, sondern nur wissen, ob r und s eindeutig bestimmt werden können.

$$ \begin{array}{l} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \\ III' = III - 2 \cdot I \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} \\ III' = III - 3 \cdot II \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array} $$ Es gibt eine eindeutige Lösung für r und s, die wir aber nicht zu bestimmen brauchen. Der Punkt liegt in der Ebene.