Gerade - Ebene: Parallelität

Gegeben ist folgende Ebene: $$ E: 3x_1 + 1x_2 - 5x_3 = -3 $$ bzw. in Parameterdarstellung: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Wir untersuchen, die Lage der Geraden $g$ zur Ebene. $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Verfahren 1: Koordinatenform

Am einfachsten untersuchen Sie die Lage der Gerade zur Ebene mit Hilfe der Koordinatenform der Ebene. Wenn die Gerade parallel zur Ebene ist oder in der Ebene liegt, dann muss der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sein. Dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren null.

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \vec{v_g} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Das Skalarprodukt ergibt. $$ \vec{n} \cdot \vec{g} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-5) \cdot 1 = 3 + 2 - 5 = 0 $$ Also ist die Gerade parallel oder sogar in der Ebene. Dazu muss man noch die Punktprobe machen. Sie setzen den Punkt der Geraden in die Koordinatenform ein. $$ 3 \cdot 4 + 1 \cdot (-5) - 5 \cdot (-1) = 12 - 5 + 5 = 12 $$ Der Punkt erfüllt die Koordinatengleichung nicht, ist also kein Punkt der Ebene. Die Gerade ist damit parallel zur Ebene.

Verfahren 2: Lineare Unabhängigkeit

Hier überprüfen wir, ob die drei Richtungsvektoren linear abhängig sind. Dies können Sie mit Hilfe des Gaussverfahrens durchführen oder Sie bestimmen das Volumen, dass die drei Vektoren aufspannen.

Richtungsvektoren

$$ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 $$ Die Vektoren sind linear abhängig, also ist die Gerade parallel oder in der Ebene. Sie müssen noch eine Punktprobe durchführen.

Punktprobe

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Umstellen ergibt: $$ r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} $$ Lösung als pdf. (TeX) Es ergibt sich bei dem Gaussverfahren keine Lösung, der Punkt der Geraden ist nicht in der Ebene enthalten. $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ s \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Verfahren 3: Gaussverfahren

Sie können auch die Gerade und die Ebene gleichsetzen: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Umstellen ergibt: $$ r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{array}{l} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r\\s\\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix} \\ \end{array} $$ Lösung als pdf. (TeX) Es ergibt sich bei dem Gaussverfahren keine Lösung, denn Sie haben zwar eine Nullzeile in der Matrix aber auf der rechten Seite in der Zeile keine Null: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & (-1) \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ s \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} $$