Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene

Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene bestimmen Sie mit der Hesseschen Normalenform.

Beispiel

Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem Punkt A(6|12|-3) und der Ebene $E_1$: $$ E_1: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Die Ebene ist schon in der HNF-Darstellung gegeben. Einsetzen ergibt den Abstand des Punktes zur Ebene. $$ \begin{array}{rcl} d &=& \left[ \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \frac{5 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + (-5) \cdot 2 } {3} \\ &=& \frac{5 + 14 - 10 } {3} \\ &=& \frac{9}{3} \\ &=& 3 \end{array} $$