Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene

Wenn eine Gerade und eine Ebene parallel sind, dann hat jeder Punkt der Geraden den gleichen Abstand zur Ebene. Unser Problem ist also schon gelöst. Wir müssen nur den Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden zur Ebene berechnen. Ob die Gerade und die Ebene parallel sind, erkennen Sie daran,

• dass der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig ist zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene: ($\overrightarrow{u_1} \times \overrightarrow{v_1}) \cdot \overrightarrow{v_g} = 0$
• dass der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zum Normalenvektor der Ebene ist: $\overrightarrow{v_g} \cdot \overrightarrow{n_e} = 0$

Beispiel

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Ebenen: $$ E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$ $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 13 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Die Parameterdarstellung der Ebene hilft Ihnen bei der Abstandsberechnung nicht.

Zuerst zeigen wir, dass die Gerade und die Ebene parallel sind: $$ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 $$ Der Richtungsvektor der Geraden ist orthogonal zum Normalenvektor der Ebene.

Die Ebene ist in der HNF-Darstellung gegeben. Deswegen setzen wir irgendeinen Punkt der Geraden in die HNF-Darstellung der Ebene ein. $$ \begin{array}{rcl} d &=& \left[ \begin{pmatrix} 8 \\ 13 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2 } {3} \\ &=& \frac{2 + 2 + 8 } {3} \\ &=& \frac{12}{3} \\ &=& 4 \end{array} $$ Der Abstand ist 4 LE in Richtung des Normalenvektors von der Ebene.