Übungen
Übung 1
- Kunde A kauft 1 Anspitzer und 3 Radiergummis und zahlt 5 Euro.
- Kunde B kauft 2 Anspitzer und 1 Radiergummi und zahlt 5 Euro.
- Kunde C kauft 1 Anspitzer und 4 Radiergummis und zahlt 4 Euro.
Überlegen Sie, warum dies nicht sein kann.
Schreiben Sie die einzelnen Käufe als Vektoren auf:
$$
A: \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}
B: \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}
C: \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}
$$
Die dritte Zeile (der Preis) der Vektoren ist jeweils linear
abhängig von der ersten und zweiten Zeile (die Menge der Käufe).
Damit sollten die Vektoren linear abhängig voneinander sein.
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 4 \\
1 & 4 & 4
\end{pmatrix}
$$
Die Determinante bestimmt sich nach der Regel von Sarrus:
$$
\begin{array}{rcl}
\det (M)
&=&
1 \cdot 1 \cdot 4
+ 2 \cdot 4 \cdot 1
+ 1 \cdot 3 \cdot 4
\\
&&
- 1 \cdot 1 \cdot 1
- 2 \cdot 3 \cdot 4
- 1 \cdot 4 \cdot 4
\\
&=& 4 + 8 + 12 \\
&&
- 1 - 24 - 16 \\
&=& -17 \\
&\neq& 0
\end{array}
$$
Die Vektoren sind nicht linear abhängig.
Übung 2
Kreuzen Sie an, ob das folgende Gleichungssystem
eindeutig lösbar ist.
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 5 & 2 \\
4 & 7 & 5
\end{pmatrix}
\vec{x}
=
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
$$
-
Koordinatensystem