Vektoren und ihre Verknüpfungen

Die geometrische Definition ist speziell auf den Anschauungsraum ausgerichtet. $$ \begin{pmatrix} \text{Anzahl Festplatten} \\ \text{Anzahl Graphikkarten} \\ \vdots \end{pmatrix} $$ Deswegen benötigt man eine allgemeine Definition, die sich nicht nur auf Geometrie beschränkt.

Damit ein Vektor nicht nur eine Tabelle ersetzt, sondern man mit den Vektoren sinnvoll rechnen kann, werden folgende Eigenschaften gefordert:

• Es ist eine Addition von Vektoren definiert.
• Es ist eine Multiplikation mit Zahlen definiert.

Man sagt, dass die Menge der Vektoren einen Vektorraum bilden, die folgende Gesetze für alle Vektoren $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$ erfüllen. Bei der geometrischen Anschaung sind diese natürlicherweise erfüllt.

1. $\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$
2. $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} $
3. Es gibt genau einen "Nullvektor" $\overrightarrow{0}$ mit: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a} $
4. Zu jedem Vektor ($\overrightarrow{a}$) gibt es einen Vektor aber auch wirklich nur einen einzigen Vektor ($-\,\overrightarrow{a}$) so das folgendes gilt $$ \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = 0 $$
5. Für Zahlen $r$, und $s$ gilt: $$ (r \cdot s) \overrightarrow{a} = r (s \overrightarrow{a} ) $$
6. $1 \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} $
7. Für eine Zahl $r$ gilt: $$r (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = r \overrightarrow{a} + r\overrightarrow{b} $$
8. Für Zahlen $r$, und $s$ gilt: $$ (r + s) \overrightarrow{a} = r \overrightarrow{a} + s \overrightarrow{a} $$